a,b为正数,求证:(a^a)(b^b)大于等于(ab)^(二分之a＋b）

(a^a)(b^b)/(ab)^(二分之a＋b）
=a^[(a-b)/2]/b^[(a-b)/2]
=(a/b)^[(a-b)/2]

a>b时，a-b>0,a/b>1
(a/b)^[(a-b)/2]>1
(a^a)(b^b)/(ab)^(二分之a＋b）>1

a=b时，a-b=0
(a/b)^[(a-b)/2]=1
(a^a)(b^b)/(ab)^(二分之a＋b）=1

a<b时，a-b<0,a/b<1
(a/b)^[(a-b)/2]>1
(a^a)(b^b)/(ab)^(二分之a＋b）>1

所以，(a^a)(b^b)/(ab)^(二分之a＋b）≥1
即:(a^a)(b^b)大于等于(ab)^(二分之a＋b）

法一：比商法
左/右=(a/b)^[(a-b)/2]
若a>b>0，则a/b>1,(a-b)/2>0,所以右端>1
若b>a>0,则0<a/b<1,(a-b)/2<0,同样右边>1
若a=b,则左边=右边
所以不等式恒成立

法二：两边取对数有alna+blnb>=(a+b)(lna+lnb)/2
即alna+blnb>=alnb+blna
无论a,b大小关系如何，不等式左边是同序和，右边是乱序和，由排序不等式：正序和>=乱序和即证。

a,b和lga,lgb必定同序
所以
(a-b)(lga-lgb)>=0
alga-algb-blga+blgb>=0
alga+blgb>=algb+blga①
alga+blgb=alga+blgb②
①+②
2(alga+blgb)>=(a+b)(lga+lgb)
alga+blgb>=(a+b)/2*(lga+lgb)
lg(a^a*b^b)>=lg[(ab)^(a+